Movimiento Circular Uniforme

Movimiento Circular Uniforme

El tipo de movimiento de una partícula con trayectoria circular y rapidez constante se denomina movimiento circular uniforme. Un hecho curioso en este tipo de movimiento es que, pese a que la partícula se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, todavía posee aceleración, puesto que la ecuación $$\overline { a } =\frac { \triangle \overrightarrow { v } }{ t } $$  refiere una variación de la dirección de la velocidad y no de su magnitud, puesto que esta es una cantidad vectorial; tal como puede verse en el siguiente gráfico el vector velocidad es siempre tangencial a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio de la trayectoria circular y la aceleración, llamada aceleración centrípeta, es siempre perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo.

La aceleración centrípeta se representa con la ecuación $${ a }_{ c }=\frac { { v }^{ 2 } }{ r } $$ donde r es el radio del círculo. De igual manera es conveniente describir el movimiento de una partícula que se mueve con rapidez constante en un círculo de radio r en términos del periodo T, que se define como el tiempo necesario para una revolución completa. En el intervalo de tiempo T la partícula se mueve una distancia de 2πr, que es igual a la circunferencia de la trayectoria circular de la partícula. Por lo tanto, como su rapidez es igual a la circunferencia de la trayectoria circular dividida entre el periodo, o $$v=\frac { 2\pi r }{ T } $$ , se deduce que $$T=\frac { 2\pi r }{ v } $$ .

En una curva suave, como la de la siguiente figura, donde la velocidad cambia en dirección y en magnitud, el vector velocidad es tangente a la trayectoria pero el vector aceleración está a cierto ángulo respecto a la trayectoria, este vector se puede descomponer en dos componentes con base en un origen en el centro del círculo: un componente radial $${ a }_{ r }$$ a lo largo del radio del círculo modelo, y un componente tangencial $${ a }_{ t }$$ perpendicular a este radio.

El vector de aceleración total a se puede escribir como el vector adición de los vectores componentes: $${ a={ a }_{ r }+a }_{ t }$$
El componente de aceleración tangencial produce el cambio en la rapidez de la partícula, el cual es paralelo a la velocidad instantánea y está dado por: $${ a }_{ t }=\frac { d\left| v \right|  }{ dt } $$

El componente de aceleración radial surge del cambio en dirección del vector velocidad y está dado por la siguiente ecuación, donde r es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto en cuestión. $${ a }_{ r }=-{ a }_{ c }=-\frac { { v }^{ 2 } }{ r } $$

El signo negativo de la ecuación indica que la dirección de la aceleración centrípeta es hacia el centro del círculo que representa el radio de curvatura, que es opuesta a la dirección del vector unitario radial $$\hat { r } $$, que siempre apunta alejándose del centro del círculo.

Como $${ a }_{ r }$$ y $${ a }_{ t }$$ son vectores componentes perpendiculares de a, se deduce que la magnitud de a es $${ a }=\sqrt { { { a }_{ r } }^{ 2 }+{ { a }_{ t } }^{ 2 } } $$ . A una rapidez dada,  $${ a }_{ r }$$ es grande cuando el radio de curvatura es pequeño y pequeña cuando r es grande. La dirección de $${ a }_{ t }$$ es la misma de v  (si v es creciente) u opuesta a v (si v es decreciente).

En el movimiento circular uniforme, donde v es constante, $${ { a }_{ t } }=0$$ y la aceleración es siempre completamente radial. Es decir, que el movimiento circular uniforme es un caso especial de movimiento a lo largo de una trayectoria general curva.

De igual manera es importante escribir la aceleración de una partícula que se mueve en una trayectoria circular en términos de vectores unitarios. El vector unitario $$\hat { r } $$ se encuentra a lo largo del radio vector y dirigido radialmente hacia fuera desde el centro del círculo y $$\hat { \theta  } $$ es un vector unitario tangente al círculo, por tanto se puede expresar la aceleración total como: $$a={ a }_{ t }+{ a }_{ r }=\frac { d\left| v \right|  }{ dt } \hat { \theta  } -\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \hat { r } $$

(Adaptado de Serway y Jewett, 2005, 6ta ed. Tomo 1. Física para ciencias e ingenierías)